STRATEGII BAZATE PE FRECVENTA
NUMERELOR
Se consideră o urnă care contine N bile numerotate de la 1 la N. Se efectuează
o serie de n trageri consecutive, fiecare constând din extragerea
din urnă a M bile (M<N), fără repunerea
bilei extrase
înapoi în urnă.
În acest mod avem de-a face cu un tablou de numere de felul
celui de mai jos:
Matematic,
avem de-a face cu o matrice numerică, cu n linii si M coloane: B = (bij), i=1, 2, …, n, j=1, 2, …, M, si 1 ≤ bij ≤N. În general, se consideră
că toate bilele sunt identice ca formă, dimensiune si greutate,
iar urna din care se extrag bilele
este perfectă, astfel încât fenomenul de extragere să poată fi apreciat
ca fiind absolut aleator. Considerăm, de asemenea,
că, la fiecare extragere, ordinea aparitiei celor M bile (numere)
este chiar cea
numerotată cu 1, 2, …, M. Desi
această conditie
nu va avea o mare însemnătate pentru cele mai
multe din analizele
care urmează, vom considera
că ea este totusi respectată. Mai adăugăm
o conditie suplimentară,
presupunând că cele n trageri numerotate cu 1, 2, …, n s-au făcut exact în această ordine. Dacă presupunem că bilele
si urna, inclusiv fenomenul fizic al tragerii se prezintă în conditiile
ideale mentionate mai sus, atunci nu există nici un motiv să credem
că o anumită bilă - practic un anumit număr de la 1 la N - are sanse
mai mari sau mai mici să apară în comparatie cu oricare altă bilă
(număr). Totusi, în practică, astfel
de experimente nu se pot desfăsura în conditii ideale si, în realitate,
nu pot exista N bile perfect identice ca formă, dimensiune si greutate,
oricât de exacte am presupune că sunt instrumentele de măsurare. Considerând asigurată corespondenta
biunivocă a celor N bile si multimea numerelor naturale 1, 2, …,
N, în continuare vom prefera să folosim termenul de numere extrase
în loc de bilele numerotate cu numere. Una dintre problemele interesante
care se pot pune în legătură cu istoricul unor experimente consecutive
se poate enunta astfel: Dacă la una din trageri a apărut numărul 7, care este probabilitatea ca acest
număr să apară si la tragerea următoare ? Răspunsul corect
la această întrebare este: teoretic, în conditii identice, cele două evenimente sunt complet independente,
deci numărul 7 va putea apărea la următoarea tragere exact cu aceeasi
probabilitate pe care a avut-o la prima tragere. Această problemă este echivalentă
cu o problemă clasică, binecunoscută, al cărei rationament a l-a
pus în dificultate chiar si pe unul dintre cei mai mari matematicieni
ai lumii. D' Alembert, căci despre el este vorba, s-a lăsat indus
în eroare, sustinând că, dacă după zece aruncări ale unei monede
a apărut numai fata cu marca, atunci este mai probabil ca la aruncarea
următoare să apară fata cu banul. Astfel de confuzii se pot
produce deseori datorită prea multei încrederi care i se acordă
bunului nostru simt cotidian atunci când avem de-a face cu unele
rationamente subtile, dar si datorită unei interpretări eronate
acordate legii numerelor mari. Astfel, una din principalele concluzii
ale acestei celebre teoreme (descoperită de celebrul matematician rus Cebîsev în anul 1846) sugerează
faptul
că, după un număr
suficient de mare de repetări
ale unui experiment în
care evenimentele posibile
au probabilităti cunoscute, se va ajunge la o prezumptivă paritate (egalitate) între frecventele de aparitie a acestor evenimente si probabilitătile
lor. Astfel,
în cazul aruncării
unei monede,
cele două evenimente
posibile (aparitia fetei cu
marca si aparitia fetei cu banul) sunt
echiprobabile, adică au aceeasi probabilitate de realizare, egală cu 0,5. Conform legii numerelor mari,
dacă acest experiment
se va repeta de un număr foarte mare de ori, atunci frecventele
de aparitie ale celor
două evenimente vor avea valori
apropiate. Statisticianul
englez K. Pearson a avut această curiozitate
si a încercat,
cu multă răbdare, de mai multe ori
un astfel de experiment. Astfel,
după ce a aruncat o monedă de 12.000 de ori, el a obtinut de 6019 ori fata cu moneda
si de 5981 de ori
fata cu banul. Într-o altă experientă,
după 24.000 de aruncări,
a obtinut de 12.012 ori fata cu marca si
de 11.988 ori fata
cu banul. Ambele experiente au confirmat
astfel cele
presupuse. La limită,
pentru un număr infinit de repetări ale experimentului, cele două frecvente
măsurate tind
către valoarea probabilitătilor lor. Abuzând
de această lege,
am putea crede în
mod eronat, precum
D' Alembert, că la cea de-a 11-a aruncare a monedei, după ce
până atunci
a fost înregistrată de zece ori marca,
ar fi mai
"normal" să apară fata cu banul, pentru că ar
trebui să se recupereze o parte din decalajul înregistrat. În realitate,
însă, fiecare eveniment de aruncare a unei monede, este independent
de cel cele anterioare. Asadar, probabilitatea de aparitie a mărcii este egală
în continuare
cu probabilitatea de aparitie a banului si, în
conditii identice
de repetare a experimentului, nimic nu poate
influenta acest
raport. El va sta la baza analizei
câtorva strategii de joc pe care le vom aborda în continuare. Precizăm pentru toti cei
care practică si se bazează pe astfel de strategii că, din punct
de vedere teoretic, atâta timp cât evenimentele privind tragerile
din urnă se desfăsoară în conditii ideale, ele nu pot aduce nici
o îmbunătătire semnificativă a sperantelor de câstig. Dacă însă considerati că anumite defecte ale aparatelor care compun sistemul de tragere (defecte în principal legate de uzura urnei si/sau a bilelor) pot influenta conditiile de tragere, atunci se poate acorda o mai mare încredere unor analize statistice a tragerilor si unora din strategiile bazate pe frecventa de aparitie a numerelor. Desigur, cu conditia ca tragerile care intră în calcul să se fi făcut toate cu aceleasi aparate.
|