STRATEGII BAZATE PE FRECVENTA NUMERELOR

              Se consideră o urnă care contine N bile numerotate de la 1 la N. Se efectuează o serie de n trageri consecutive, fiecare constând din extragerea din urnă a M bile (M<N), fără repunerea bilei extrase înapoi în urnă.

              În acest mod avem de-a face cu un tablou de numere de felul celui de mai jos:  

              Matematic, avem de-a face cu o matrice numerică, cu n linii si M coloane:

B = (b_ij),  i=1, 2, …, n,   j=1, 2, …, M,  si 1 ≤ b_ij ≤N.

              În general, se consideră că toate bilele sunt identice ca formă, dimensiune si greutate, iar urna din care se extrag  bilele este perfectă, astfel încât fenomenul de extragere să poată fi apreciat ca fiind absolut aleator.

              Considerăm, de asemenea, că, la fiecare extragere, ordinea aparitiei celor M bile (numere) este chiar cea numerotată cu 1, 2, …, M. Desi această conditie nu va avea o mare însemnătate pentru cele mai multe din analizele care urmează, vom considera că ea este totusi respectată.

              Mai adăugăm o conditie suplimentară, presupunând că cele n trageri numerotate cu 1, 2, …, n s-au făcut exact în această ordine.  

              Dacă presupunem că bilele si urna, inclusiv fenomenul fizic al tragerii se prezintă în conditiile ideale mentionate mai sus, atunci nu există nici un motiv să credem că o anumită bilă - practic un anumit număr de la 1 la N - are sanse mai mari sau mai mici să apară în comparatie cu oricare altă bilă (număr).

              Totusi, în practică, astfel de experimente nu se pot desfăsura în conditii ideale si, în realitate, nu pot exista N bile perfect identice ca formă, dimensiune si greutate, oricât de exacte am presupune că sunt instrumentele de măsurare.

              Considerând asigurată corespondenta biunivocă a celor N bile si multimea numerelor naturale 1, 2, …, N, în continuare vom prefera să folosim termenul de numere extrase în loc de bilele numerotate cu numere. 

              Una dintre problemele interesante care se pot pune în legătură cu istoricul unor experimente consecutive se poate enunta astfel:

              Dacă la una din trageri a apărut numărul 7, care este probabilitatea ca acest număr să apară si la tragerea următoare ?

              Răspunsul corect la această întrebare este: teoretic, în conditii identice, cele două evenimente sunt complet independente, deci numărul 7 va putea apărea la următoarea tragere exact cu aceeasi probabilitate pe care a avut-o la prima tragere.

              Această problemă este echivalentă cu o problemă clasică, binecunoscută, al cărei rationament a l-a pus în dificultate chiar si pe unul dintre cei mai mari matematicieni ai lumii. D' Alembert, căci despre el este vorba, s-a lăsat indus în eroare, sustinând că, dacă după zece aruncări ale unei monede a apărut numai fata cu marca, atunci este mai probabil ca la aruncarea următoare să apară fata cu banul.

              Astfel de confuzii se pot produce deseori datorită prea multei încrederi care i se acordă bunului nostru simt cotidian atunci când avem de-a face cu unele rationamente subtile, dar si datorită unei interpretări eronate acordate legii numerelor mari. Astfel, una din principalele concluzii ale acestei celebre teoreme (descoperită de celebrul matematician rus Cebîsev în anul 1846) sugerează faptul că, după un număr suficient de mare de repetări ale unui experiment în care evenimentele posibile au probabilităti cunoscute, se va ajunge la o prezumptivă paritate (egalitate) între frecventele de aparitie a acestor evenimente si probabilitătile lor. Astfel, în cazul aruncării unei monede, cele două evenimente posibile (aparitia fetei cu marca si aparitia fetei cu banul) sunt echiprobabile, adică au aceeasi probabilitate de realizare, egală cu 0,5. Conform legii numerelor mari, dacă acest experiment se va repeta de un număr foarte mare de ori, atunci frecventele de aparitie ale celor două evenimente vor avea valori apropiate. Statisticianul englez K. Pearson a avut această curiozitate si a încercat, cu multă răbdare, de mai multe ori un astfel de experiment. Astfel, după ce a aruncat o monedă de 12.000 de ori, el a obtinut de 6019 ori fata cu moneda si de 5981 de ori fata cu banul. Într-o altă experientă, după 24.000 de aruncări, a obtinut de 12.012 ori fata cu marca si de 11.988 ori fata cu banul. Ambele experiente au confirmat astfel cele presupuse.

              La limită, pentru un număr infinit de repetări ale experimentului, cele două frecvente măsurate tind către valoarea probabilitătilor lor.

              Abuzând de această lege, am putea crede în mod eronat, precum D' Alembert, că la cea de-a 11-a aruncare a monedei, după ce până atunci a fost înregistrată de zece ori marca, ar fi mai "normal" să apară fata cu banul, pentru că ar trebui să se recupereze o parte din decalajul înregistrat. În realitate, însă, fiecare eveniment de aruncare a unei monede, este independent de cel cele anterioare. Asadar, probabilitatea de aparitie a mărcii este egală în continuare cu probabilitatea de aparitie a banului si, în conditii identice de repetare a experimentului, nimic nu poate influenta acest raport. 

              El va sta la baza analizei câtorva strategii de joc pe care le vom aborda în continuare.

              Precizăm pentru toti cei care practică si se bazează pe astfel de strategii că, din punct de vedere teoretic, atâta timp cât evenimentele privind tragerile din urnă se desfăsoară în conditii ideale, ele nu pot aduce nici o îmbunătătire semnificativă a sperantelor de câstig.

              Dacă însă considerati că anumite defecte ale aparatelor care compun sistemul de tragere (defecte în principal legate de uzura urnei si/sau a bilelor) pot influenta conditiile de tragere, atunci se poate acorda o mai mare încredere unor analize statistice a tragerilor si unora din strategiile bazate pe frecventa de aparitie a numerelor.  Desigur, cu conditia ca tragerile care intră în calcul să se fi făcut toate cu aceleasi aparate.